Пример решения прямой и двойственной задачи симплекс методом. Симплексный метод решения задач линейного программирования Симплекс онлайн решение

Линейное программирование - это метод математического моделирования, разработанный для оптимизации использования ограниченных ресурсов. ЛП успешно применяется в военной области, индустрии, сельском хозяйстве, транспортной отрасли, экономике, системе здравоохранения и даже в социальных науках. Широкое использование этого метода также подкрепляется высокоэффективными компьютерными алгоритмами, реализующими данный метод. На алгоритмах линейного программирования базируются оптимизационные алгоритмы для других, более сложных типов моделей и задач исследования операций (ИО), включая целочисленное, нелинейное и стохастическое программирование.

Оптимизационная задача – это экономико-математическая задача, которая состоит в нахождении оптимального (максимального или минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений.

В самом общем виде задача линейного программирования математически записывается следующим образом:

где X = (x 1 , x 2 , ... , x n ) ; W – область допустимых значений переменных x 1 , x 2 , ... , x n ;f(Х) – целевая функция.

Для того чтобы решить задачу оптимизации, достаточно найти ее оптимальное решение, т.е. указать такое, что при любом .

Оптимизационная задача является неразрешимой, если она не имеет оптимального решения. В частности, задача максимизации будет неразрешимой, если целевая функция f(Х) не ограничена сверху на допустимом множестве W .

Методы решения оптимизационных задач зависят как от вида целевой функции f(Х) , так и от строения допустимого множества W . Если целевая функция в задаче является функцией n переменных, то методы решения называют методами математического программирования.

Характерные черты задач линейного программирования следующие:

показатель оптимальности f(X) представляет собой линейную функцию от элементов решения X = (x 1 , x 2 , ... , x n ) ;

ограничительные условия, налагаемые на возможные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств.

Задачей линейного программирования называется задача исследования операций, математическая модель которой имеет вид:

(2) (3) (4) (5)

При этом система линейных уравнений (3) и неравенств (4), (5), определяющая допустимое множество решений задачи W , называется системой ограничений задачи линейного программирования, а линейная функция f(Х) называется целевой функцией или критерием оптимальности .

Допустимое решение – это совокупность чисел (план ) X = (x 1 , x 2 , ... , x n ) , удовлетворяющих ограничениям задачи. Оптимальное решение – это план, при котором целевая функция принимает свое максимальное (минимальное) значение.

Если математическая модель задачи линейного программирования имеет вид:

то говорят, что задача представлена в канонической форме .

Любую задачу линейного программирования можно свести к задаче линейного программирования в канонической форме. Для этого в общем случае нужно уметь сводить задачу максимизации к задаче минимизации; переходить от ограничений неравенств к ограничениям равенств и заменять переменные, которые не подчиняются условию неотрицательности. Максимизация некоторой функции эквивалента минимизации той же функции, взятой с противоположным знаком, и наоборот.

Правило приведения задачи линейного программирования к каноническому виду состоит в следующем:

если в исходной задаче требуется определить максимум линейной функции, то следует изменить знак и искать минимум этой функции;

если в ограничениях правая часть отрицательна, то следует умножить это ограничение на -1;

если среди ограничений имеются неравенства, то путем введения дополнительных неотрицательных переменных они преобразуются в равенства;

если некоторая переменная x j не имеет ограничений по знаку, то она заменяется (в целевой функции и во всех ограничениях) разностью между двумя новыми неотрицательными переменными: x 3 = x 3 + - x 3 - , где x 3 + , x 3 - ≥ 0 .

Пример 1 . Приведение к канонической форме задачи линейного программирования:

min L = 2x 1 + x 2 - x 3 ; 2x 2 - x 3 ≤ 5; x 1 + x 2 - x 3 ≥ -1; 2x 1 - x 2 ≤ -3; x 1 ≤ 0; x 2 ≥ 0; x 3 ≥ 0.

Введем в каждое уравнение системы ограничений выравнивающие переменные x 4 , x 5 , x 6 . Система запишется в виде равенств, причем в первое и третье уравнения системы ограничений переменные x 4 , x 6 вводятся в левую часть со знаком "+", а во второе уравнение переменная x 5 вводится со знаком "-".

2x 2 - x 3 + x 4 = 5; x 1 + x 2 - x 3 - x 5 = -1; 2x 1 - x 2 + x 6 = -3; x 4 ≥ 0; x 5 ≥ 0; x 6 ≥ 0.

Свободные члены в канонической форме должны быть положительными, для этого два последних уравнения умножим на -1:

2x 2 - x 3 + x 4 = 5; -x 1 - x 2 + x 3 + x 5 = 1; -2x 1 + x 2 - x 6 = 3.

Симплексный метод решения задач линейного программирования.

Алгоритм симплекс-метода находит оптимальное решение, рассматривая ограниченное количество допустимых базисных решений. Алгоритм симплекс-метода всегда начинается с некоторого допустимого базисного решения и затем пытается найти другое допустимое базисное решение, "улучшающее" значение целевой функции. Это возможно только в том случае, если возрастание какой-либо нулевой (небазисной) переменной ведет к улучшению значения целевой функции. Но для того, чтобы небазисная переменная стала положительной, надо одну из текущих базисных переменных сделать нулевой, т.е. перевести в небазисные. Это необходимо, чтобы новое решение содержало в точности m базисных переменных. В соответствии с терминологией симплекс-метода выбранная нулевая переменная называется вводимой (в базис), а удаляемая базисная переменная - исключаемой (из базиса).

Два правила выбора вводимых и исключающих переменных в симплекс-методе назовем условием оптимальности и условием допустимости . Сформулируем эти правила, а также рассмотрим последовательность действий, выполняемых при реализации симплекс-метода.

Условие оптимальности. Вводимой переменной в задаче максимизации (минимизации) является небазисная переменная, имеющая наибольший отрицательный (положительный) коэффициент в целевой -строке. Если в целевой -строке есть несколько таких коэффициентов, то выбор вводимой переменной делается произвольно. Оптимальное решение достигнуто тогда, когда в целевой -строке все коэффициенты при небазисных переменных будут неотрицательными (неположительными).

Условие допустимости. Как в задаче максимизации, так и в задаче минимизации в качестве исключаемой выбирается базисная переменная, для которой отношение значения правой части ограничения к положительному коэффициенту ведущего столбца минимально. Если базисных переменных с таким свойством несколько, то выбор исключаемой переменной выполняется произвольно.

Приведем алгоритм решения задачи линейного программирования на отыскание максимума с помощью симплекс таблиц.

F = с 1 х 1 +с 2 х 2 +…+с n x n max

х 1 0, х 2 0,…, х n 0.

1-й шаг . Вводим добавочные переменные и записываем полученную систему уравнений и линейную функцию в виде расширенной системы.

F–c 1 x 1 –c 2 x 2 –…–c n x n =0=c p.

2-й шаг. Составляем первоначальную симплекс-таблицу.

3-й шаг. Проверяем выполнение критерия оптимальности – наличие в последней строке отрицательных коэффициентов. Если таких нет, то решение оптимально и F * =c o , базисные переменные равны соответствующим коэффициентам b j , неосновные переменные равны нулю, т. е. X * =(b 1 ,b 2 ,…, b m , 0, …, 0).

4-й шаг . Если критерий оптимальности не выполнен, то наибольший по модулю отрицательный коэффициент в последней (оценочной) строке, определяет разрешающий столбец s.

Для определения разрешающей строки, рассчитаем оценочные отношения и заполним последний столбец таблицы.

Оценочное отношение i-ой строки равно

, если b i и a is имеют разные знаки;

, если b i =0 и а is <0;

, если a is =0;

0, если b i =0 и а is >0;

В столбце оценочных отношений находим минимальный элемент min который определяет разрешающую строку g.

Если минимума нет, то задача не имеет конечного оптимума I и является неразрешимой.

На пересечении разрешающих строки и столбца находится разрешающий элемент а gs .

5-й шаг . Строим следующую таблицу. Для этого

Переходим к третьему шагу.

М-метод Иногда при решении ЗЛП в матрице коэффициентов при неизвестных системы ограничений нет единичных столбцов, из которых можно составить единичную матрицу, т.е. возникает проблема выбора базисных переменных, либо первоначальное решение является недопустимым. В таких случаях используют метод искусственного базиса (М - метод). Во все ограничения, где нет базисных переменных, вводятся искусственные переменные . В целевую функцию искусственные переменные вводятся с коэффициентом (- М) для задач на max и с коэффициентом (+ М) для задач на min, где М – достаточно большое положительное число . Затем решается расширенная задача по правилам симплексного метода. Если все искусственные переменные окажутся равными нулю, т.е. будут исключены из базиса, то либо будет получено оптимальное решение исходной задачи, либо исходная задача решается далее и находится ее оптимальное решение или устанавливается ее неразрешимость. Если хотя бы одна из искусственных переменных окажется отличной от нуля, то исходная задача не имеет решения

>> >> >> Симплекс-метод

Симплекс-метод

Решение любой можно найти симплексным методом . Прежде чем применять симплекс-метод, следует записать исходную задачу в форме основной задачи линейного программирования, если она не имеет такой формы записи.

Симплексный метод решения задачи линейного программирования основан на переходе от одного опорного плана к другому, при котором значение целевой функции возрастает (при условии, что данная задача имеет оптимальный план и каждый ее опорный план является невырожденным). Указанный переход возможен, если известен какой-нибудь исходный опорный план. Рассмотрим задачу, для которой этот план можно непосредственно записать.

Пусть требуется найти максимальное значение функции

при условиях

Здесь и – заданные постоянные числа

Векторная форма данной задачи имеет следующий вид: найти максимум функции

при условиях

то по определению опорного плана является опорным планом данной задачи (последние компонент вектора Х равны нулю). Этот план определяется системой единичных векторов которые образуют базис m- мерного пространства. Поэтому каждый из векторов а также могут быть представлены в виде линейной комбинации векторов данного базиса. Пусть

Положим Так как векторы – единичные, то и а

Теорема 5

(признак оптимальности опорного плана). Опорный план задачи (22) – (24) является оптимальным, если для любого j

Теорема 6.

Если для некоторого j=k и среди чисел нет положительных , то целевая функция (22) задачи (22) – (24) не ограничена на множестве ее планов.

Теорема 7.

Если опорный план Х задачи (22) – (24)невырожден и , но среди чисел есть положительные (не все ), то существует опорный план X" такой, что

Сформулированные теоремы позволяют проверить, является ли найденный опорный план оптимальным, и выявить целесообразность перехода к новому опорному плану.

Исследование опорного плана на оптимальность, а также дальнейший вычислительный процесс удобнее вести, если условия задачи и первоначальные данные, полученные после определения исходного опорного плана, записать так, как показано в табл. 3.

В столбце С 6 этой таблицы записывают коэффициенты при неизвестных целевой функции, имеющие те же индексы, что и векторы данного базиса.

В столбце записывают положительные компоненты исходного опорного плана, в нем же в результате вычислений получают положительные компоненты оптимального плана. Столбцы векторов представляют собой коэффициенты разложения этих векторов по векторам данного базиса.

В табл. 3 первые m строк определяются исходными данными задачи, а показатели (m+1)-й строки вычисляют. В этой строке в столбце вектора записывают значение целевой функции, которое она принимает при данном опорном плане, а в столбце вектора – значение

Значение Z j находится как скалярное произведение вектора на вектор

Значение равно скалярному произведению вектора P 0 на вектор :

После заполнения таблицы 3 исходный опорный план проверяют на оптимальность. Для этого просматривают элементы -й строки таблицы. В результате может иметь место один из следующих трех случаев:

1) для j=m+1, (при ). Поэтому в данном случае числа для всех j от 1 до n ;

2) для некоторого j , и все соответствующие этому индексу величины

3) для некоторых индексов j , и для каждого такого j , по крайней мере, одно из чисел положительно.

В первом случае на основании признака оптимальности исходный опорный план является оптимальным. Во втором случае целевая функция не ограничена сверху на множестве планов, а в третьем случае можно перейти от исходного плана к новому опорному плану, при котором значение целевой функции увеличится. Этот переход от одного опорного плана к другому осуществляется исключением из исходного базиса какого-нибудь из векторов и введением в него нового вектора. В качестве вектора, вводимого в базис, можно взять любой из векторов имеющий индекс j , для которого . Пусть, например, и решено ввести в базис вектор

Для определения вектора, подлежащего исключению из базиса, находят для всех Пусть этот минимум достигается при i=r . Тогда из базиса исключают вектор , а число называют разрешающим элементом.

Столбец и строку, на пересечении которых находится разрешающий элемент, называют направляющими.

После выделения направляющей строки и направляющего столбца находят новый опорный план и коэффициенты разложения векторов через векторы нового базиса, соответствующего новому опорному плану. Это легко реализовать, если воспользоваться методом Жордана–Гаусса. При этом можно показать, что положительные компоненты нового опорного плана вычисляются по формулам

(25)

а коэффициенты разложения векторов через векторы нового базиса, соответствующего новому опорному плану, – по формулам

(26)

После вычисления и согласно формулам (25) и (26) их значения заносят в табл. 4. Элементы -й строки этой таблицы могут быть вычислены либо по формулам

(27)

(28)

либо на основании их определения.

Таблица 3

Таблица 4

Наличие двух способов нахождения элементов -й строки позволяет осуществлять контроль правильности проводимых вычислений.

Из формулы (27) следует, что при переходе от одного опорного плана к другому наиболее целесообразно ввести в базис вектор , имеющий индекс j , при котором максимальным по абсолютной величине является число . Однако с целью упрощения вычислительного процесса в дальнейшем будем вектор, вводимый в базис, определять, исходя из максимальной абсолютной величины отрицательных чисел . Если же таких чисел несколько, то в базис будем вводить вектор, имеющий такой же индекс, как и максимальное из чисел , определяемых данными числами

Итак, переход от одного опорного плана к другому сводится к переходу от одной симплекс-таблицы к другой. Элементы новой симплекс-таблицы можно вычислить как с помощью рекуррентных формул (25)-(28), так и по правилам, непосредственно вытекающим из них. Эти правила состоят в следующем.

В столбцах векторов, входящих в базис, на пересечении строк и столбцов одноименных векторов проставляются единицы, а все остальные элементы данных столбцов полагают равными нулю.

Элементы векторов и в строке новой симплекс-таблицы, в которой записан вектор, вводимый в базис, получают из элементов этой же строки исходной таблицы делением их на величину разрешающего элемента. В столбце в строке вводимого вектора проставляют величину , где k – индекс вводимого вектора.

Остальные элементы столбцов вектора и новой симплекс-таблицы вычисляют по правилу треугольника. Для вычисления какого-нибудь из этих элементов находят три числа:

1) число, стоящее в исходной симплекс-таблице на месте искомого элемента новой симплекс-таблицы;

2) число, стоящее в исходной симплекс-таблице на пересечении строки, в которой находится искомый элемент новой симплекс-таблицы, и столбца, соответствующего вектору, вводимому в базис;

3) число, стоящее в новой симплекс-таблице на пересечении столбца, в котором стоит искомый элемент, и строки вновь вводимого в базис вектора (как отмечено выше, эта строка получается из строки исходной симплекс-таблицы делением ее элементов на разрешающий элемент).

Эти три числа образуют своеобразный треугольник, две вершины которого соответствуют числам, находящимся в исходной симплекс-таблице, а третья – числу, находящемуся в новой симплекс-таблице. Для определения искомого элемента новой симплекс-таблицы из первого числа вычитают произведение второго и третьего.

После заполнения новой симплекс-таблицы просматривают элементы -й строки. Если все , то новый опорный план является оптимальным. Если же среди указанных чисел имеются отрицательные, то, используя описанную выше последовательность действий, находят новый опорный план. Этот процесс продолжают до тех пор, пока либо не получают оптимальный план задачи, либо не устанавливают ее неразрешимость.

При нахождении решения задачи линейного программирования мы предполагали, что эта задача имеет опорные планы и каждый такой план является невырожденным. Если же задача имеет вырожденные опорные планы, то на одной из итераций одна или несколько переменных опорного плана могут оказаться равными нулю. Таким образом, при переходе от одного опорного плана к другому значение функции может остаться прежним. Более того, возможен случай, когда функция сохраняет свое значение в течение нескольких итераций, а также возможен возврат к первоначальному базису. В последнем случае обычно говорят, что произошло зацикливание. Однако при решении практических задач этот случай встречается очень редко, поэтому мы на нем останавливаться не будем.

Итак, нахождение оптимального плана симплексным методом включает следующие этапы:

1. Находят опорный план.

2. Составляют симплекс-таблицу.

3. Выясняют, имеется ли хотя бы одно отрицательное число . Если нет, то найденный опорный план оптимален. Если же среди чисел имеются отрицательные, то либо устанавливают неразрешимость задачи, либо переходят к новому опорному плану.

4. Находят направляющие столбец и строку. Направляющий столбец определяется наибольшим по абсолютной величине отрицательным числом , а направляющая строка – минимальным из отношений компонент столбца вектора к положительным компонентам направляющего столбца.

5. По формулам (25) – (28) определяют положительные компоненты нового опорного плана, коэффициенты разложения векторов Pj по векторам нового базиса и числа , . Все эти числа записываются в новой симплекс-таблице.

6. Проверяют найденный опорный план на оптимальность. Если план не оптимален и необходимо перейти к новому опорному плану, то возвращаются к этапу 4, а в случае получения оптимального плана или установления неразрешимости процесс решения задачи заканчивают.

Пример 9.

Для изготовления различных изделий А , В и С предприятие использует три различных вида сырья. Нормы расхода сырья на производство одного изделия каждого вида, цена одного изделия А , В и С , а также общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано предприятием, приведены в табл. 5.

Таблица 5

Изделия А , В и С могут производиться в любых соотношениях (сбыт обеспечен), но производство ограничено выделенным предприятию сырьем каждого вида.

Составить план производства изделий, при котором общая стоимость всей произведенной предприятием продукции является максимальной.

Решение. Составим математическую модель задачи. Искомый выпуск изделий А обозначим через x 1 , изделий В – через , изделий С – через . Поскольку имеются ограничения на выделенный предприятию фонд сырья каждого вида, переменные должны удовлетворять следующей системе неравенств:

(29)

Общая стоимость произведенной предприятием продукции при условии выпуска x 1 изделий А , изделий В и изделий С составляет

По своему экономическому содержанию переменные могут принимать только лишь неотрицательные значения:

Таким образом, приходим к следующей математической задаче: среди всех неотрицательных решений системы неравенств (29) требуется найти такое, при котором функция (30) принимает максимальное значение.

Запишем эту задачу в форме основной задачи линейного программирования. Для этого перейдем от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам. Введем три дополнительные переменные, в результате чего ограничения запишутся в виде системы уравнений

Эти дополнительные переменные по экономическому смыслу означают не используемое при данном плане производства количество сырья того или иного вида. Например, – это неиспользуемое количество сырья I вида.

Преобразованную систему уравнений запишем в векторной форме:

Поскольку среди векторов имеются три единичных вектора, для данной задачи можно непосредственно записать опорный план. Таковым является план Х =(0; 0; 0; 360; 192; 180), определяемый системой трехмерных единичных векторов которые образуют базис трехмерного векторного пространства.

Составляем симплексную таблицу для I итерации (табл. 6), подсчитываем значения и проверяем исходный опорный план на оптимальность:

Для векторов базиса

Таблица 6

Как видно из таблицы 6, значения всех основных переменных равны нулю, а дополнительные переменные принимают свои значения в соответствии с ограничениями задачи. Эти значения переменных отвечают такому “плану”, при котором ничего не производится, сырье не используется и значение целевой функции равно нулю (т. е. стоимость произведенной продукции отсутствует). Этот план, конечно, не является оптимальным.

Это видно и из 4-й строки табл. 6, так как в ней имеется три отрицательных числа: и Отрицательные числа не только свидетельствуют о возможности увеличения общей стоимости производимой продукции, но и показывают, на сколько увеличится эта сумма при введении в план единицы того или другого вида продукции.

Так, число – 9 означает, что при включении в план производства одного изделия А обеспечивается увеличение выпуска продукции на 9 руб. Если включить в план производства по одному изделию В и С, то общая стоимость изготовляемой продукции возрастет соответственно на 10 и 16 руб. Поэтому с экономической точки зрения наиболее целесообразным является включение в план производства изделий С. Это же необходимо сделать и на основании формального признака симплексного метода, поскольку максимальное по абсолютной величине отрицательное число стоит в 4-й строке столбца вектора Р 3 . Следовательно, в базис введем вектор Р 3 . определяем вектор, подлежащий исключению из базиса. Для этого находим

Найдя число мы тем самым с экономической точки зрения определили, какое количество изделий С предприятие может изготовлять с учетом норм расхода и имеющихся объемов сырья каждого вида. Так как сырья данного вида соответственно имеется 360, 192 и 180 кг, а на одно изделие С требуется затратить сырья каждого вида соответственно 12, 8 и 3 кг, то максимальное число изделий С , которое может быть изготовлено предприятием, равно т. е. ограничивающим фактором для производства изделий С является имеющийся объем сырья II вида. С учетом его наличия предприятие может изготовить 24 изделия С. При этом сырье II вида будет полностью использовано.

Следовательно, вектор Р 5 подлежит исключению из базиса. Столбец вектора Р 3 к 2-я строка являются направляющими. Составляем таблицу для II итерации (табл. 7).

Таблица 7

Сначала заполняем строку вектора, вновь введенного в базис, т. е. строку, номер которой совпадает с номером направляющей строки. Здесь направляющей является 2-я строка. Элементы этой строки табл. 7 получаются из соответствующих элементов таблицы 6 делением их на разрешающий элемент (т. е. на 8). При этом в столбце С б записываем коэффициент , стоящий в столбце вводимого в базис вектора . Затем заполняем элементы столбцов для векторов, входящих в новый базис. В этих столбцах на пересечении строк и столбцов одноименных векторов проставляем единицы, а все остальные элементы полагаем равными нулю.

Для определения остальных элементов табл. 7 применяем правило треугольника. Эти элементы могут быть вычислены и непосредственно по рекуррентным формулам.

Вычислим элементы табл. 7, стоящие в столбце вектора Р 0 . Первый из них находится в 1-й строке этого столбца. Для его вычисления находим три числа:

1) число, стоящее в табл. 6 на пересечении столбца вектора Р 0 и 1-й строки (360);

2) число, стоящее в табл. 6 на пересечении столбца вектора P 3 и 1-й строки (12);

3) число, стоящее в табл. 7 на пересечении столбца вектора Р 0 и 2-й строки (24).

Вычитая из первого числа произведение двух других, находим искомый элемент: 360 – 12 х 24=72; записываем его в 1-й строке столбца вектора Р 0 табл. 7.

Второй элемент столбца вектора Р 0 табл. 7 был уже вычислен ранее. Для вычисления третьего элемента столбца вектора Р 0 также находим три числа. Первое из них (180) находится на пересечении 3-й строки и столбца вектора Р 0 табл. 6, второе (3) – на пересечении 3-й строки и столбца вектора P 3 табл. 6, третье (24) – на пересечении 2-й строки и столбца вектора Р 0 табл. 8. Итак, указанный элемент есть 180 – 24 х 3=108. Число 108 записываем в 3-й строке столбца вектора Р 0 табл. 7.

Значение F 0 в 4-й строке столбца этого же вектора можно найти двумя способами:

1) по формуле , т.е.

2) по правилу треугольника; в данном случае треугольник образован числами 0, -16, 24. Этот способ приводит к тому же результату: 0 - (-16) х 24=384.

При определении по правилу треугольника элементов столбца вектора Р 0 третье число, стоящее в нижней вершине треугольника, все время оставалось неизменным и менялись лишь первые два числа. Учтем это при нахождении элементов столбца вектора P 1 табл. 7. Для вычисления указанных элементов первые два числа берем из столбцов векторов P 1 и Р 3 табл. 6, а третье число – из табл. 7. Это число стоит на пересечении 2-й строки и столбца вектора P 1 последней таблицы. В результате получаем значения искомых элементов: 18 – 12 х (3/4) =9; 5 – 3 х (3/4) = 11/4.

Число в 4-й строке столбца вектора P 1 табл. 7 можно найти двумя способами:

1) по формуле Z 1 -С 1 =(C,P 1)-C 1 имеем

2) по правилу треугольника получим

Аналогично находим элементы столбца вектора P 2 .

Элементы столбца вектора Р 5 вычисляем по правилу треугольника. Однако построенные для определения этих элементов треугольники выглядят иначе.

При вычислении элемента 1-й строки указанного столбца получается треугольник, образованный числами 0,12 и 1/8. Следовательно, искомый элемент равен 0 – 12х (1/8) = -3/2. Элемент, стоящий в 3-й строке данного столбца, равен 0 - 3 х (1 /8) = -3/8.

По окончании расчета всех элементов табл. 7 в ней получены новый опорный план и коэффициенты разложения векторов через базисные векторы P 4 , P 3 , P 6 и значения и . Как видно из этой таблицы, новым опорным планом задачи является план X =(0; 0; 24; 72; 0; 108). При данном плане производства изготовляется 24 изделия С и остается неиспользованным 72 кг сырья 1 вида и 108 кг сырья III вида. Стоимость всей производимой при этом плане продукции равна 384 руб. Указанные числа записаны в столбце вектора Р 0 табл. 7. Как видно, данные этого столбца по-прежнему представляют собой параметры рассматриваемой задачи, хотя они претерпели значительные изменения. Изменились данные и других столбцов, а их экономическое содержание стало более сложным. Так, например, возьмем данные столбца вектора Р 2 . Число 1/2 во 2-й строке этого столбца показывает, на сколько следует уменьшить изготовление изделий С , если запланировать выпуск одного изделия В. Числа 9 и 3/2 в 1-й и 3-й строках вектора P 2 показывают соответственно, сколько потребуется сырья I и II вида при включении в план производства одного изделия В , а число – 2 в 4-й строке показывает, что если будет запланирован выпуск одного изделия В , то это обеспечит увеличение выпуска продукции в стоимостном выражении на 2 руб. Иными словами, если включить в план производства продукции одно изделие В , то это потребует уменьшения выпуска изделия С на 1/2 ед. и потребует дополнительных затрат 9 кг сырья I вида и 3/2 кг сырья III вида, а общая стоимость изготовляемой продукции в соответствии с новым оптимальным планом возрастет на 2 руб. Таким образом, числа 9 и 3/2 выступают как бы новыми “нормами” затрат сырья I и III вида на изготовление одного изделия В (как видно из табл. 6, ранее они были равны 15 и 3), что объясняется уменьшением выпуска изделий С.

Такой же экономический смысл имеют и данные столбца вектора Р 1 табл. 7. Несколько иное экономическое содержание имеют числа, записанные в столбце вектора Р 5 . Число 1/8 во 2-й строке этого столбца, показывает, что увеличение объемов сырья II вида на 1 кг позволило бы увеличить выпуск изделий С на 1/8 ед. Одновременно потребовалось бы дополнительно 3/2 кг сырья I вида и 3/8 кг сырья III вида. Увеличение выпуска изделий С на 1/8 ед. приведет к росту выпуска продукции на 2 руб.

Из изложенного выше экономического содержания данных табл. 7 следует, что найденный на II итерации план задачи не является оптимальным. Это видно и из 4-й строки табл. 7, поскольку в столбце вектора P 2 этой строки стоит отрицательное число – 2. Значит, в базис следует ввести вектор P 2 , т. е. в новом плане следует предусмотреть выпуск изделий В. При определении возможного числа изготовления изделий В следует учитывать имеющееся количество сырья каждого вида, а именно: возможный выпуск изделий В определяется для , т. е. находим

Следовательно, исключению из базиса подлежит вектор Р 4 иными словами, выпуск изделий В ограничен имеющимся в распоряжении предприятия сырьем I вида. С учетом имеющихся объемов этого сырья предприятию следует изготовить 8 изделий В. Число 9 является разрешающим элементом, а столбец вектора P 2 и 1-я строка табл. 7 являются направляющими. Составляем таблицу для III итерации (табл. 8).

Таблица 8

В табл. 8 сначала заполняем элементы 1-й строки, которая представляет собой строку вновь вводимого в базис вектора Р 2 . Элементы этой строки получаем из элементов 1-й строки табл. 7 делением последних на разрешающий элемент (т.е. на 9). При этом в столбце С б данной строки записываем .

Затем заполняем элементы столбцов векторов базиса и по правилу треугольника вычисляем элементы остальных столбцов. В результате в табл. 8 получаем новый опорный план X =(0; 8; 20; 0; 0; 96) и коэффициенты разложения векторов через базисные векторы и соответствующие значения и

Проверяем, является ли данный опорный план оптимальным или нет. Для этого рассмотрим 4-ю строку, табл. 8. В этой строке среди чисел нет отрицательных. Это означает, что найденный опорный план является оптимальным и

Следовательно, план выпуска продукции, включающий изготовление 8 изделий В и 20 изделий С , является оптимальным. При данном плане выпуска изделий полностью используется сырье I и II видов и остается неиспользованным 96 кг сырья III вида, а стоимость производимой продукции равна 400 руб.

Оптимальным планом производства продукции не предусматривается изготовление изделий А. Введение в план выпуска продукции изделий вида А привело бы к уменьшению указанной общей стоимости. Это видно из 4-й строки столбца вектора P 1 , где число 5 показывает, что при данном плане включение в него выпуска единицы изделия А приводит лишь к уменьшению общей величины стоимости на 5 руб.

Решение данного примера симплексным методом можно было бы проводить, используя лишь одну таблицу (табл. 9). В этой таблице последовательно записаны одна за другой все три итерации вычислительного процесса.

Таблица 9

Как видно из табл. 10, исходный опорный план не является оптимальным. Поэтому переходим к новому опорному плану. Это можно сделать, так как в столбцах векторов P 1 и p 5 , 4-я строка которых содержит отрицательные числа, имеются положительные элементы. Для перехода к новому опорному плану введем в базис вектор p 5 и исключим из базиса вектор p 4 . Составляем таблицу II итерации.

Таблица 11

Как видно из табл. 11, новый опорный план задачи не является оптимальным, так как в 4-й строке столбца вектора P 1 стоит отрицательное число -11/3. Поскольку в столбце этого вектора нет положительных элементов, данная задача не имеет оптимального плана.

11.4. ДВОЙСТВЕННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД

Из результатов предыдущих пунктов следует, что для получения решения исходной задачи можно перейти к двойственной и, используя оценки ее оптимального плана, определить оптимальное решение исходной задачи.

Переход к двойственной задаче не обязателен, так как если рассмотреть первую симплексную таблицу с единичным дополнительным базисом, то легко заметить, что в столбцах записана исходная задача, а в строках –двойственная.

Как было показано, при решении прямой задачи на любой итерации разность , т.е. величина -коэффициента при переменной , равна разности между правой и левой частями соответствующего ограничения двойственной задачи. Если при решении прямой задачи с максимизируемой целевой функцией итерация не приводит к оптимальному решению, то по крайней мере для одной переменной и только в оптимуме для всех разность .

Рассматривая это условие с учетом двойственности, можно записать

.

Таким образом, если , то . Это означает, что, когда решение прямой задачи неоптимальное, решение двойственной задачи недопустимое. С другой стороны при . Отсюда следует, что оптимальному решению прямой задачи соответствует допустимое решение двойственной задачи.

Это позволило разработать новый метод решения задач линейного программирования, при использовании которого сначала получается недопустимое, но «лучшее, чем оптимальное» решение (в обычном симплекс-методе сначала находится допустимое , но неоптимальное решение). Новый метод, получивший название двойственного симплекс-метода , обеспечивает выполнение условия оптимальности решения и систематическое «приближение» его к области допустимых решений. Когда полученное решение оказывается допустимым, итерационный процесс вычислений заканчивается, так как это решение является и оптимальным.

Двойственный симплекс-метод позволяет решать задачи линейного программирования, системы ограничений которых при положительном базисе содержат свободные члены любого знака. Этот метод позволяет уменьшить количество преобразований системы ограничений, а также размера симплексной таблицы. Рассмотрим применение двойственного симплекс-метода на примере.

Пример . Найти минимум функции

при ограничениях

.

Перейдем к канонической форме:

при ограничениях

Начальная симплекс-таблица имеет вид

Начальное базисное решение оптимальное, но не допустимое.

Как и обычный симплексный метод, рассматриваемый метод решения основан на использовании условий допустимости и оптимальности.

Условие допустимости . В качестве исключаемой переменной выбирается наибольшая по абсолютной величине отрицательная базисная переменная (при наличии альтернатив выбор делается произвольно). Если все базисные переменные неотрицательные, процесс вычислений заканчивается, так как полученное решение допустимое и оптимальное.

Условие оптимальности . Включаемая в базис переменная выбирается из числа небазисных переменных следующим образом. Вычисляются отношения коэффициентов левой части -уравнения к соответствующим коэффициентам уравнения, ассоциированного с исключаемой переменной. Отношения с положительным или нулевым значением знаменателя не учитываются. В задаче минимизации вводимой переменной должно соответствовать наименьшее из указанных отношений, а в задаче максимизации – отношение, наименьшее по абсолютной величине (при наличии альтернатив выбор делается произвольно). Если знаменатели всех отношений равны нулю или положительные, задача не имеет допустимых решений.

После выбора включаемой в базис и исключаемой переменных для получения следующего решения осуществляется обычная операция преобразования строк симплекс-таблицы.

В рассматриваемом примере исключаемой переменной является . Отношения, вычисленные для определения новой базисной переменной, приведены в следующей таблице:

В качестве включаемой переменной выбирается x 2 . Последующее преобразование строк приводит к новой симплекс-таблице:

Новое решение также оптимальное, но все еще недопустимое. В качестве новой исключаемой переменной выберем (произвольно) x 3 . Определим включаемую переменную.

Если в условии задачи есть ограничения со знаком ≥, то их можно привести к виду ∑a ji b j , умножив обе части неравенства на -1. Введем m дополнительных переменных x n+j ≥0(j =1,m ) и преобразуем ограничения к виду равенств

(2)

Предположим, что все исходные переменные задачи x 1 , x 2 ,..., x n – небазисные. Тогда дополнительные переменные будут базисными, и частное решение системы ограничений имеет вид

x 1 = x 2 = ... = x n = 0, x n+ j = b j , j =1,m . (3)

Так как при этом значение функции цели F 0 = 0 , можно представить F(x) следующим образом:

F(x)=∑c i x i +F 0 =0 (4)

Начальная симплекс-таблица (симплекс-табл. 1) составляется на основании уравнений (2) и (4). Если перед дополнительными переменными x n+j стоит знак «+», как в (2), то все коэффициенты перед переменными x i и свободный член b j заносятся в симплекс-таблицу без изменения. Коэффициенты функции цели при ее максимизации заносятся в нижнюю строку симплекс-таблицы с противоположными знаками. Свободные члены в симплекс-таблице определяют решение задачи.

Алгоритм решения задачи следующий:

1-й шаг. Просматриваются элементы столбца свободных членов. Если все они положительные, то допустимое базисное решение найдено и следует перейти к шагу 5 алгоритма, соответствующему нахождению оптимального решения. Если в начальной симплекс-таблице есть отрицательные свободные члены, то решение не является допустимым и следует перейти к шагу 2.

2-й шаг. Для нахождения допустимого решения осуществляется , при этом нужно решать, какую из небазисных переменных включить в базис и какую переменную вывести из базиса.

Таблица 1.

Для этого выбирают любой из отрицательных элементов столбца свободных членов (пусть это будет b 2 ведущим, или разрешающим. Если в строке с отрицательным свободным членом нет отрицательных элементов, то система ограничений несовместна и задача не имеет решения.

Одновременно из БП исключается та переменная, которая первой изменит знак при увеличении выбранной НП x l . Это будет x n+r , индекс r которой определяется из условия

т.е. та переменная, которой соответствует наименьшее отношение свободного члена к элементу выбранного ведущего столбца. Это отношение называется симплексным отношением. Следует рассматривать только положительные симплексные отношения.

Строка, соответствующая переменной x n+r , называется ведущей, или разрешающей. Элемент симплекс-таблицы a rl , стоящий на пересечении ведущей строки и ведущего столбца, называется ведущим, или разрешающим элементом. Нахождением ведущего элемента заканчивается работа с каждой очередной симплекс-таблицей.

3-й шаг. Рассчитывается новая симплекс-таблица, элементы которой пересчитываются из элементов симплекс-таблицы предыдущего шага и помечаются штрихом, т.е. b" j , a" ji , c" i , F" 0 . Пересчет элементов производится по следующим формулам:

Сначала в новой симплекс-таблице заполнятся строка и столбец, которые в предыдущей симплекс-таблице были ведущими. Выражение (5) означает, что элемент a" rl на месте ведущего равен обратной величине элемента предыдущей симплекс-таблицы. Элементы строки a ri делятся на ведущий элемент, а элементы столбца a jl также делятся на ведущий элемент, но берутся с противоположным знаком. Элементы b" r и c" l рассчитываются по тому же принципу.

Остальные формулы легко записать с помощью .

Прямоугольник строится по старой симплекс-таблице таким образом, что одну из его диагоналей образует пересчитываемый (a ji) и ведущий (a rl) элементы (рис. 1). Вторая диагональ определяется однозначно. Для нахождения нового элемента a" ji из элемента a ji вычитается (на это указывает знак « – » у клетки) произведение элементов противоположной диагонали, деленное на ведущий элемент. Аналогично пересчитываются элементы b" j , (j≠r) и c" i , (i≠l).

4-й шаг. Анализ новой симплекс-таблицы начинается с 1-го шага алгоритма. Действие продолжается, пока не будет найдено допустимое базисное решение, т.е. все элементы столбца свободных членов должны быть положительными.

5-й шаг. Считаем, что допустимое базисное решение найдено. Просматриваем коэффициенты строки функции цели F(x) . Признаком оптимальности симплекс-таблицы является неотрицательность коэффициентов при небазисных переменных в F-строке.

Рис. 1. Правило прямоугольника

Если среди коэффициентов F-строки имеются отрицательные (за исключением свободного члена), то нужно переходить к другому базисному решению. При максимизации функции цели в базис включается та из небазисных переменных (например x l), столбцу которой соответствует максимальное абсолютное значение отрицательного коэффициента c l в нижней строке симплекс-таблицы. Это позволяет выбрать ту переменную, увеличение которой приводит к улучшению функции цели. Столбец, соответствующий переменной x l , называется ведущим. Одновременно из базиса исключается та переменная x n+r , индекс r которой определяется минимальным симплексным отношением:

Строка, соответствующая x n+r , называется ведущей , а элемент симплекс-таблицы a rl , стоящий на пересечении ведущей строки и ведущего столбца, называется ведущим элементом.

6-й шаг. по правилам, изложенным на 3-м шаге. Процедура продолжается до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение или сделан вывод, что оно не существует.

Если в процессе оптимизации решения в ведущем столбце все элементы неположительные, то ведущую строку выбрать невозможно. В этом случае функция в области допустимых решений задачи не ограничена сверху и F max ->&∞.

Если же на очередном шаге поиска экстремума одна из базисных переменных становится равной нулю, то соответствующее базисное решение называется вырожденным. При этом возникает так называемое зацикливание, характеризующееся тем, что с определенной частотой начинает повторяться одинаковая комбинация БП (значение функции F при этом сохраняется) и невозможно перейти к новому допустимому базисному решению. Зацикливание является одним из основных недостатков симплекс-метода, но встречается сравнительно редко. На практике в таких случаях обычно отказываются от ввода в базис той переменной, столбцу которой соответствует максимальное абсолютное значение отрицательного коэффициента в функции цели, и производят случайный выбор нового базисного решения.

Пример 1. Решить задачу

max{F(x) = -2x 1 + 5x 2 | 2x 1 + x 2 ≤7; x 1 + 4x 2 ≥8; x 2 ≤4; x 1,2 ≥0}

Симплексным методом и дать геометрическую интерпретацию процесса решения.

Графическая интерпретация решения задачи представлена на рис. 2. Максимальное значение функции цели достигается в вершине ОДЗП с координатами . Решим задачу с помощью симплекс-таблиц. Умножим второе ограничение на (-1) и введём дополнительные переменные, чтобы неравенства привести к виду равенств, тогда

Исходные переменные x 1 и x 2 принимаем в качестве небазисных, а дополнительные x 3 , x 4 и x 5 считаем базисными и составляем симплекс-таблицу(симплекс-табл. 2). Решение, соответствующее симплекс-табл. 2, не является допустимым; ведущий элемент обведен контуром и выбран в соответствии с шагом 2 приведенного ранее алгоритма. Следующая симплекс-табл. 3 определяет допустимое базисное решение, ему соответствует вершина ОДЗП на рис. 2 Ведущий элемент обведен контуром и выбран в соответствии с 5-м шагом алгоритма решения задачи. Табл. 4 соответствует оптимальному решению задачи, следовательно: x 1 = x 5 = 0; x 2 = 4; x 3 = 3; x 4 = 8; F max = 20.

Рис. 2. Графическое решение задачи

Основная идея симплексного метода решения ЗЛП состоит в последовательном улучшении опорных решений ЗЛП.

Существуют несколько форм записи симплексного метода.

1. Базовая форма записи симплекс-метода;
2. Симплекс-метод в виде симплексной таблицы;
3. Модифицированный симплекс-метод;
4. Симплекс-метод в столбцовой форме;
5. Симплексный метод в строчечной форме.

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 3x 1 +5x 2 +4x 3 при следующих условиях-ограничений.
0.1x 1 +0.2x 2 +0.4x 3 ≤1100
0.05x 1 +0.02x 2 +0.02x 3 ≤120
3x 1 +x 2 +2x 3 ≤8000

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
0.1x 1 + 0.2x 2 + 0.4x 3 + 1x 4 + 0x 5 + 0x 6 = 1100
0.05x 1 + 0.02x 2 + 0.02x 3 + 0x 4 + 1x 5 + 0x 6 = 120
3x 1 + 1x 2 + 2x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 1x 6 = 8000

Базовая форма записи симплекс-метода

Симплекс-метод в виде симплексной таблицы

Модифицированный симплекс-метод

Симплекс-метод в столбцовой форме

Симплексный метод в строчечной форме

Матрица Q, составленная из коэффициентов системы, называется симплекс-таблицей , соответствующей базе В. Симплекс-таблица называется допустимой , или прямо допустимой , если q i0 ≥ 0. Элементы q i0 последней строки симплекс-таблицы Q называются относительными оценками .

Формы решения методом искусственного базиса

Формы решения методом искусственного базиса:

1. M-метод (симплекс-таблица);
2. двухэтапный или двухфазный симплекс-метод (Базовая форма записи, Модифицированный симплекс-метод, Симплекс-метод в столбцовой форме, Симплексный метод в строчечной форме).